Matemática Aplicada II


TEA013, Engenharia Ambiental, 6 créditos, disciplina obrigatória, carga horaria: 90h
Professor: Tobias Bleninger (contato)
Horários e salas: segundas, quartas e sextas, PK03 das 7:30 a 9:30h
Horário de consultas: Por favor, agendar por email ou no Teams (contato)


Ementa

Ferramentas computacionais e solução numérica com diferenças finitas de equações diferenciais parciais: análise de estabilidade de von Neumann e exemplos escolhidos entre a equação da difusão, equação da onda, equação de Laplace, e outras de uso comum em Engenharia Ambiental. Análise linear, sistemas lineares em Engenharia. Séries e Transformadas de Fourier. Solução de equações diferenciais, análise espectral e análise de periodicidade em séries de dados naturais. Funções de Green e Identidades de Green em Engenharia: Hidrógrafa Unitária Instantánea, Problemas de Dispersão de Poluentes. Teoria de Sturm-Liouville e algumas funções especiais adicionais (Legendre, Laguerre, Hermite). Importância da teoria no método de separação de variáveis para equações diferenciais parciais. Equações Diferenciais Parciais: problemas lineares e não-lineares em escoamentos na atmosfera, nos oceanos, em rios e no solo, e problemas de dispersão de poluentes. Classificação e o método das características: escoamento em canais. Solução por separação de variáveis, transformadas integrais e transformada de Boltzmann.


Objetivos

Criar a habilidade de aplicar métodos matemáticos a conceitos e modelos da engenharia ambiental. Apresentar exemplos de aplicações e elaborar cálculos relacionados a problemas típicos de Mecânica dos Fluidos, Fenômenos de Transporte, Hidrologia e Dispersão de Poluentes nos ambientes atmosféricas, águas superficiais e subterrâneos e processos tecnológicos. Isto inclui aplicações de álgebra linear, equações diferenciais ordinárias e parciais, transformações, campos escalares e vetoriais usando soluções analíticas e numéricas. Introdução e aplicação de ferramentas computacionais para resolução de problemas matemáticas.

Aprofundar a utilização de técnicas analíticas e numéricas empregadas em modelagem ambiental. Integração e aplicação de modelos matemáticos para a solução de diferentes problemas de engenharia.  Classificação de problemas matemáticos. Soluções analíticas de equações diferenciais parciais lineares. Soluções numéricas de equações diferenciais parciais.  Aplicação dos principais métodos em problemas típicos em Engenharia Ambiental (equação de calor/difusão, equação da onda, equação Laplace, equação de advecção-difusão, escoamentos e transporte de poluentes em ambientes aquáticos, atmosféricos e subterráneos, etc.).


Programa/calendário

No. Dia Data Conteúdo
1 seg. 10/03/2025  Introdução. Temas. Calendário. Motivação.
2 qua. 12/03/2025  I) Equações diferenciais parciais: Revisão EDOs.
3 sex. 14/03/2025 EDPs: Definições e classificação.
4 seg. 17/03/2025  II) Equação de  calor: problemas e solução analítica (separação das variáveis)
5 qua. 19/03/2025 Transformadas de Fourier para solução analitica da equação de calor.
6 sex. 21/03/2025 Exercícios: Equação de calor em Matlab
7 seg. 24/03/2025 Exercícios: Equação de calor em Matlab
8 qua. 26/03/2025 Exercícios: Equação de calor em Matlab
9 sex. 28/03/2025  III) Soluções para problemas não-homogêneos.
10 seg. 31/03/2025 Exercícios para equações não homogeneas
11 qua. 02/04/2025  IV) Equação de  advecção e difusão: dedução e problemas
12 sex. 04/04/2025  Equação de  difusão: método de similaridade e outros
13 seg. 07/04/2025  Séries, Integrais e Transformadas de Fourier para edps.
14 qua. 09/04/2025  Séries, Integrais e Transformadas de Fourier para edps.
15 sex. 11/04/2025  Soluções de edps com transformadas de Fourier: fonte instantânea num tubo e outros casos.
16 seg. 14/04/2025  V) Equação da onda. Método d´Alembert.
17 qua. 16/04/2025 Aplicações e outros métodos para equação da onda. Entrega lista E1
sex. 18/04/2025 sem aula – feriado sexta-feira santa
seg. 21/04/2025 sem aula – ferido Tiradentes
18 qua. 23/04/2025 Revisão da lista E1
19 sex. 25/04/2025  VI) Equação de Laplace: escoamento potencial. Função corrente. Aplicações para problemas de escoamentos de fluidos ideais.
20 seg. 28/04/2025  Exemplos: Escoamento de águas subterrâneas, Escoamento em 3D.
21 qua. 30/04/2025  Soluções analíticas da equação de Laplace.
sex. 02/05/2025 sem aula
22 seg. 05/05/2025 Prova P1
23 qua. 07/05/2025  VII) Métodos numéricas e soluções numéricas
24 sex. 09/05/2025  Revisão de Diferenças finitas para edos
25 seg. 12/05/2025  Diferenças finitas de equações diferenciais parciais
26 qua. 14/05/2025  Exercícios abertos com PC
27 sex. 16/05/2025  Soluções numéricas de edps elípticas. Condições de contorno Dirichlet.
28 seg. 19/05/2025 Método de Gauss-Seidel. Condições de contorno Neumann.
29 qua. 21/05/2025  Soluções numéricas de edps com domínios com contornos irregulares.
30 sex. 23/05/2025  Soluções numéricas de edps parabólicas. Método explicito.
31 seg. 26/05/2025  Soluções numéricas de edps parabólicas. Método implícito. Método Crank-Nicolson
32 qua. 28/05/2025  Exercícios abertos com PC
33 sex. 30/05/2025  Aplicações de soluções numéricas e analíticas para problemas na engenharia ambiental
34 seg. 02/06/2025  Soluções numéricas de edps hiperbólicas. Aplicações. Método das características.
35 qua. 04/06/2025  Estabilidade de von Neumann.  Analise de estabilidade para diferentes métodos numéricos.
36 sex. 06/06/2025  Exercícios abertos com PC
37 seg. 09/06/2025  VIII) M;todos de Probabilística e Estatística para analise de dados e sinais: Revisão e exemplos. Aplicações
38 qua. 11/06/2025 Analise de Fourier e análise espectral para sinais e dados
39 sex. 13/06/2025  Aplicação da analise de Fourier espectral.
40 seg. 16/06/2025  Exercícios abertos com PC
41 qua. 18/06/2025  Exercícios abertos com PC
sex. 20/06/2025 sem aula
42 seg. 23/06/2025  Exercícios abertos com PC
43 qua. 25/06/2025 Aplicações gerais na Eng. Ambiental. Entrega de lista E2
44 sex. 27/06/2025 Apresentações e prova oral
45 seg. 30/06/2025 Apresentações e prova oral
qua. 02/07/2025 sem aula – preparação final
sex. 04/07/2025 sem aula – preparação final
seg. 07/07/2025 Prova Final

Avaliação

  • 1 Prova P1 (sem consulta)
  • Exercício E1 (individual)
  • Exercício E2 (em grupo com apresentação oral e arguição). A nota E2 consiste em nota única para o trabalho escrito (70%) e nota individual para a apresentação (10%) e as perguntas e a arguição (20%).
  • Nota N = 1/2P1 + 1/4E1 + 1/4E2
  •         se N ≥ 7   aprovado com nota final NF = N
  •         se N < 4   reprovado
  •         se 4 ≤ N < 7 prova final F
  •                    se (F+N)/2 ≥ 5 aprovado com nota final NF = (F+N)/2
  •                    se (F+N) < 5 reprovado
  • Presença: se faltas maior de 25%: reprovado

Referencias e informações adicionais

  • Livros texto:
    • Steven Chapra, Metodos Numéricos para Engenharia, 5a edicao, McGraw Hill, Sao Paulo, 2008 (link para apresentacoes, link para m-files)
    • Chapra, Steven C. Surface water-quality modeling. Waveland press, 2008.
    • Parkhurst, David F. Introduction to applied mathematics for environmental science. Springer Science & Business Media, 2007.
    • Chapman, Stephen J. MATLAB programming for engineers. Nelson Education, 2015.
    • Calculus in Context. The Five College Calculus Project. James Callahan. Kenneth Hoffman. David Cox. Donal O’Shea. Harriet Pollatsek. Lester Senechal. http://math.smith.edu/~callahan/intromine.html
    • Kreyszig, E., 1999, Advanced Engineering Mathematics, Wiley & Sons, ISBN: 0-471-15496-2 (existe tambem versao em portugues, veja em baixo)
    • Erwin Kreyszig, 2009, “Matematica superior para engenharia”, Volumes 1-3, ISBN: v. 1 9788521616436 : v. 2 9788521616443 : v. 3 9788521616450, Rio de Janeiro, LTC
    • Ekkehard O. Holzbecher, Environmental modeling using MATLAB, 2007, Springer (link to book, m-files at Mathworks)
    • Alfio Quarteroni, Fausto Saleri, 2007, Calculo Cientifico com MATLAB e Octave. Springer, Italia, Milano ou “Scientific Computing with MATLAB and Octave, 2010” (disponivel como e-book na biblioteca da UFPR, link, link para m-files)
    • M. D. Greenberg. Advanced Engineering Mathematics. Prentice-Hall, New Jersey, 1998.
    • E. Butkov. Física Matemática. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1988.
    • Coleção de livros matematicos  (e online textbooks)
    • William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, Third Edition (2007), Cambridge University Press (ISBN-10: 0521880688, or ISBN-13: 978-0521880688), www.nr.com
    • Aulas, exercicios, provas e Livros de Gilbert Strang, MIT Open Course Ware, Massachusetts Institute of Technology (Computational Science and Engineering I)
    • S. R. Otto, St. Andrews J. P. Denier, An Introduction to Programming and Numerical Methods in MATLAB, The University of Adelaide School of Mathematical Sciences, (pdf)
    • Nelson, L.D., 2011, Apostila de Matemática Aplicada a Engenharia, Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR
  • Software:
    • MatLab (programa computacional, existem licenças acadêmicas). Tutoriais! e Mini-Curso! ou Octave (alternativa grátis parecido com MatLab)
    • Maple (programa matemático, profissional, especialmente para operações simbólicas) ou Maxima (alternativa grátis parecido) ou Wolfram Alpha (online)
    • UltraEdit (editor de texto professional, pode editar colunas) ou PSPad (editor de texto gratis, pode editar colunas)
    • Microsoft Excel (programa de calculo em tabelas) ou Calc (program de calculo em tabelas gratis, do sistema OpenOffice)
    • Sketchup (Programa para desenho tecnico)
    • Delft3D – Modelo 3D hidrodinamico e de transporte e qualidade de agua / 3D Hydrodynamic and transport and water quality modeling suite (open source)
    • OpenFOAM – The Open Source Computational Fluid Dynamics (CFD) Toolbox (Programa para Mecanica dos Fluidos Computacional) (Curso com informacoes adicionais)
    • CAELinux – Distribuicao de Linux com pre- e pos-processadores e solver para CFD / Linux distribution including pre- and post-processors and solvers for CFD
  • Materiais interativos:
  • Elaboração de textos (veja guia de orientação)
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